Еквивалентни уравнения

Еквивалентни уравнения

Две уравнения се наричат еквивалентни  ( равносилни ), ако имат едни и същи корени или и двете нямат корени.

Еквивалентни ли са уравненията:
а)  2x + 4 = 0 и  6x = -12;
б) | y | = 3  и   y = 3.

Решение:

а)  2x + 4 = 0
     2x = - 4
      x = - 2

6x = -12
x = - 2

Двете уравнения са еквивалентни

б) | y | = 3
     y1 = 3, y2 = -3
y = 3 Двете уравнения не са еквивалентни

Еквивалентността на две уравнения се означава с знака ⇔.

 

Теореми за еквивалентност на уравнения

Като непосредствено  следствие от свойствата на верните числови равенства се получават теореми за еквивалентност на уравнения.

Теорема за заместване
Ако израз в уравнение се замести с тъждествено равен на него израз, се получава уравнение, еквивалентно на даденото.

6(1 – x) = 4 ⇔6 – 6x = 4
Защото
6(1 – x) = 6 – 6x   е тъждество.

Теорема за прехвърляне
Ако израз от едната страна на уравнение се прехвърли в другата му страна с противоположен знак, се получава уравнение, еквивалентно на даденото.

5x = 4x + 7  ⇔ 5x – 4x = 7
защото изразът 4x е прехвърлен в лявата страна като –4x.

Теорема за умножение или деление с число
Ако двете страни на уравнение се умножат (разделят) с едно и също число, се получава уравнение, еквивалентно на даденото.

                         2
3x = 2 ⇔  x = ——
                         3

Двете уравнения са еквивалентни, защото и двете страни са разделени на 3 или
                        1
умножени с —— .
                        3

Умножението (делението) на двете страни на уравнение с число, различно от 0 се записва така:
3x = 2       | .3
5x = 21     | : 3

В уравнение може да се унищужават:
       -   противоположни изрази, намиращи се от една и съща страна на уравнението
           5  +    -    =  x
          5 = x
          x  = 5

      -    тъждествени изрази, намиращи се от различни страни на уравнението.
           4 +  6(1 – x)    =   6(1 – x)  +  2x
           4 = 2x
           2 = x
           x = 2
       
 

7 клас
Задача 531

(2х + 3) (2x - 3) - 4(x + 2)2 = 7
x |2a + 5| +3 |2а + 5| = 1
за кое а уравненията са еквивалентни.

Публикувана на: 17-12-2011
7 клас
Задача 530

(2х+3) (2x+3) - 4(x+2)2 = 7
x |2a+5| +3 |2а+5| = 1
за кое а уравненията са еквивалентни.

Публикувана на: 17-12-2011
7 клас
Задача 1530

За коя стойност на параметъра уравненията са еквивалентни:

x + m/2 - 2x - m/4 = 0     и 2(x + 2) - m = 0

Публикувана на: 17-12-2013
7 клас
Задача 1169

Намерете стойностите на параметъра m, така че да са еквивалентни уравненията:
2х - m = х + m2     и     1/2.(х + 2 + 2m) = 1/3.(х + m) 

Публикувана на: 21-2-2013
7 клас
Категория: неравенства
Задача 1876

Намерете за кои стойности на параметъра а са еквивалентни неравенствата

(a - x)2 - (x + 2)(x - 1)  <  2a(a - x) + x               и         2(x - 2a) > a2 + 2

 

Публикувана на: 06-4-2015
7 клас
Категория: Уравнения
Задача 1955
Публикувана на: 29-12-2015
7 клас
Категория: уравнения
Задача 597
  1. 3(2x-1)-4(3-5x) = 6x-15
  2. (2x-7)(x+3) = 0
  3. x(4-2x)(x+3) = 0
  4. |2x-1|+4|1-2x| = -8
Публикувана на: 15-1-2012
7 клас
Категория: уравнения
Задача 2018

4x2-4x-35=0

Публикувана на: 16-4-2016
7 клас
Категория: Уравнения
Задача 1238

х5 - 5х3 + 4х = 0
Отг : 0 ; +-1 ; +-2

Публикувана на: 22-3-2013
7 клас
Категория: уравнения
Задача 1058

(2x - 1)3 + (1 - 2x)(-x-8)2 = 0

Публикувана на: 08-1-2013
1